Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Eigenschaften von Exponentialfunktionen - bettermarks (2024)

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Eigenschaften der Exponentialfunktion
Die allgemeine Exponentialfunktion
Verschiebung in y-Richtung
Verschiebung in x-Richtung

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Der Graph einer Exponentialfunktion $y = b^{x}$ mit $b$ $>$ $0$ , $b$ ≠ $1$ enthält die Punkte

0 | 1

und

1 | b

Du kannst also den Funktionsterm einer Exponentialfunktion schnell mit Hilfe des Graphen bestimmen.

Der Graph enthält die Punkte

0 | 1

und

1 | 3

.Funktionsterm : $f (x) = 3^{x}$

Der Definitionsbereich $D$ einer Exponentialfunktion ist ℝ, der $kleinstmögliche Wertebereich$ $W$ ist

0 ; ∞

. Exponentialfunktionen haben also keine $Nullstelle$ .

Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade $y = 0$ ist die waagerechte $Asymptote$ der Exponentialfunktion.

Exponentialfunktionen mit $b$ $>$ $1$ sind monoton steigend.Exponentialfunktionen mit $0 < b$ $<$ $1$ sind monoton fallend.

Die allgemeine Exponentialfunktion

Du kennst die normale Exponentialfunktion mit $y = b^{x}$ .

Durch die Verwendung von $Parametern$ kannst du die Gleichung verändern, um z.B. verschiedene exponentielle Wachstumsvorgänge zu beschreiben oder zu modellieren.

Allgemein hat die Gleichung dann die Form: $y = a \cdot b^{x}$

Der Parameter $a$ wird auch Streckfaktor genannt, denn die $Exponentialkurve$ der normalen Exponentialfunktion $y = b^{x}$ wird gestreckt

a > 1

oder gestaucht

0 < a < 1

Ist $a$ negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.Die Graphen der $allgemeinen Exponentialfunktionen$ enthalten die Punkte

0 | a

und

1 | b · a

Für $a$ $>$ $0$ ist der $kleinstmögliche Wertebereich$ $W =]0; \infty[$ , für $a$ $<$ $0$ ist $W =]- \infty; 0[$ .

Die Graphen haben also keine $Nullstellen$ .

Die Funktionswerte nähern sich aber beliebig dicht der Null an. Die x-Achse bzw. die Gerade $y = 0$ ist die waagerechte $Asymptote$ der Exponentialfunktion.

$f$ mit $f (x) = 2 \cdot 3^{x}$ $g$ mit $g (x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ $h$ mit $h (x) = -2 \cdot 3^{x}$

Verschiebung in y-Richtung

In der Funktionsgleichung $y = a \cdot b^{x} + d$ bewirkt der Parameter $d$ eine Verschiebung des Funktionsgraphen der $allgemeinen Exponentialfunktion$ $y = a \cdot b^{x}$ in y-Richtung.

Für $d$ $>$ $0$ erfolgt die Verschiebung nach oben, für $d$ $<$ $0$ nach unten.

Durch die Verschiebung ändert sich im Fall $a$ $>$ $0$ der Wertebereich $W$ zu

d ; ∞

Die Asymptote wird verschoben nach $y = d$ .

Durch die Verschiebung nach unten kommt eine Nullstelle hinzu.

$f$ mit $f (x) = 2 \cdot {1.5}^{x} + 2$ $g$ mit $g (x) = 2 \cdot {1.5}^{x}$ $h$ mit $h (x) = 2 \cdot {1.5}^{x} - 2$

Verschiebung in x-Richtung

In der Funktionsgleichung $y = a \cdot b^{x + c}$ bewirkt der Parameter $c$ eine Verschiebung der $Exponentialkurve$ $y = a \cdot b^{x}$ in x-Richtung.

Für $c$ $>$ $0$ erfolgt die Verschiebung nach links, für $c$ $<$ $0$ nach rechts.

Durch die Verschiebung ändert sich der Wertebereich $W$ nicht.

$f$ mit $f (x) = 2 \cdot {1.5}^{x + 2}$ $g$ mit $g (x) = 2 \cdot {1.5}^{x}$ $h$ mit $h (x) = 2 \cdot {1.5}^{x - 2}$

Funktionen der Form $y = a \cdot b^{x + c}$ sind auch $allgemeine Exponentialfunktionen$ , denn eine Verschiebung in x-Richtung kann auch als Streckung oder Stauchung beschrieben werden.

Für $y = a \cdot b^{x}$ mit $b$ $>$ $1$ entspricht die Verschiebung um $c$ Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor $b^{c}$ , denn $a \cdot b^{x + c} = a \cdot b^{x} \cdot b^{c}$ .

Die Verschiebung um $c$ Einheiten nach rechts entspricht einer Stauchung mit dem Faktor ${(\frac{1}{b})}^{c}$ , denn $a \cdot b^{x - c} = a \cdot b^{x} \cdot b^{- c} = a \cdot b^{x} \cdot {(\frac{1}{b})}^{c}$ .

Die Verschiebung der Exponentialkurve $y = 2^{x}$ um 3 Einheiten nach links entspricht einer Streckung mit dem Faktor 8.

$y = 2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x}$

Mit Hilfe von $Potenzgesetzen$ erhältst du

Die Stauchung der Exponentialkurve $y = 2^{x}$ mit dem Faktor $\frac{1}{4}$ entspricht einer Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts.

$y = \frac{1}{4} \cdot 2^{x} = 2^{x - 2}$

Mit Hilfe von $Potenzgesetzen$ erhältst du